Ограниченность функции непрерывной на отрезке

Если $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$, то $f(x)$ - ограничена на $[a, b]$

От противного: $f(x)$ - не ограничена, значит: $$\forall{n \in \mathbb{N}}~~ \exists{x_{n} \in [a,b]}\mathpunct{:}~~ |f(x_{n})| \geq n$$ Рассмотрим следующую последовательность: $$\{x_{n}\}\mathpunct{:}~ \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = \infty,~~ \{x_{n}\} \subset [a, b]$$ Следовательно $\{x_{n}\}$ - ограничена $\Rightarrow$ по теореме Больцано-Вейерштрасса: $\exists{\{x_{n_{k}}\}}\mathpunct{:}~~ x_{n_{k}} \to x_{0} \in [a, b]$, а значит из непрерывности $f(x)$: $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_{k}}) = f(x_{0})$ Так как $f(x)$ - не ограничена, $f(x_{0}) = \infty$ - противоречие. Значит $f(x)$ - ограничена $~~~\square$